Je navrhováno anlyzovat známé a vyvinout nové přímé i iterační metody pro řešení lineárních algebraických systémů vznikajících v mnoha oblastech vědeckých výpočtů. Na základě našich dosavadních výsledků navrhujeme analyzovat Krylovovské metody a jejich možná zobecnění hledající aproximace řešení vně Krylovovských podprostorů. Pokusíme se o vysvětlení vlivu aritmetiky s konečnou přesností na chování těchto algoritmů a navrhujeme jejich nové, numericky stabilnější a efektivnější modifikace. Budeme využívat souvislostí s klasickými oblastmi jako je teorie ortogonálních polynomů, teorie numerické integrace nebo teorie řetězových zlomků a popíšeme důsledky ukázaných výsledků pro tyto oblasti. Na poli řídkých přímých metod se zaměříme na datové struktury a strategie výběru pivotů. Navrhneme nový orientovaný acyklický grafový model, na jehož základě se pokusíme redukovat velikost průběžného zaplnění při multifrontálním přístupu. Navrhneme nový přímý řešič multifrontálního typu. (cs)